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Axiomensysteme

Euklids Elemente oder Die Elemente (im Original Στοιχεια) ist eine Abhandlung des griechischen Mathematikers Euklid (Ευκλειδης, ca. 360 v. Chr. bis ca. 280 v. Chr.), in der er die Arithmetik und Geometrie seiner Zeit zusammenfasst und systematisiert. Das Werk zeigt erstmals musterhaft den Aufbau einer exakten Wissenschaft, da die meisten Aussagen aus einem begrenzten Vorrat von Definitionen, Postulaten und Axiomen hergeleitet und bewiesen werden. Dieses Vorgehen beeinflusste bis heute nicht nur die Mathematiker, sondern auch viele Physiker, Philosophen und Theologen bei ihrem Versuch, ihre Wissenschaft auf Axiomen aufzubauen. (zitiert nach http://de.wikipedia.org/wiki/Euklids_Elemente )

Ein einziger Satz daraus hielt die besten Köpfe der Mathematiker für die nächsten 2300 Jahre auf Trab, nämlich das Parallelenpostulat. Dabei geht es darum, ob die Postulierung der Existenz EINER Parallelen vielleicht beweisbar sein könnte oder ob es sich um einen selbstständiges Postulat handelt, das daher auch weggelassen oder durch sein Negat ersetzt werden könnte (was dann zur absoluten bzw. einer der beiden nichteuklidischen Geometrien führt). Erst im 19. Jahrhundert konnten Gauss, Bolyai und Lobatschewski die Frage klären.

Mit Euklid ist auch die "Euklidische Form" verknüpft, nämlich der Aufbau einer Arbeit in die Abfolge von Behauptung und Beweis bzw. Aufgabenstellung und Lösung, er dürfte sie allerdings von den ägyptischen Lehrbüchern übernommen haben.

  • οπερ εδει δειξαι
    was zu beweisen war, sind die Schlussworte eines Lehrsatzes, auf Latein: quod erat demonstrandum, bei dem es sich um den Beweis, αποδειξιν, des Behaupteten handelt.
  • οπερ εδει ποιησα ι
    Damit endet ein προβλημα, ein Problem, von dem es auf die Lösung, die κατασκευην, die Ausführung des Geforderten ankommt.
  • Charakteristisch ist auch die Unterteilung in:
    οροι (υποδεσειν)
    Definitionen, das, was der Lernende nicht sofort begreift, aber doch zugibt,
  • κοιναι εννοιαι (αξιωματα)
    Gemeinbegriffe, das, was dem Lernenden bekannt und glaubwürdig erscheint
  • αιτηματα:
    Forderungen, das, was dem Lernenden weder bekannt noch einsichtig ist, was aber vom Lehrenden übernommen

Definitionen, Axiome und Postulate von EUKLID)
Definitionen (οροι)

  1. Was keine Teile hat, ist ein Punkt.
  2. Eine Länge ohne Breite ist eine Linie.
  3. Die Enden einer Linie sind Punkte.
  4. Eine Linie ist gerade, wenn sie gegen die in ihr befindlichen Punkte auf einerlei Art gelegen ist.
  5. Was nur Länge und Breite hat, ist eine Fläche.

Axiome: (αιτηματα)

  1. Dinge, die demselben Dinge gleich sind, sind einander gleich.
  2. Fügt man zu Gleichem Gleiches hinzu, so sind die Summen gleich.
  3. Nimmt man von Gleichem Gleiches hinweg, so sind die Reste gleich.
  4. Was zur Deckung miteinander gebracht werden kann, ist einander gleich.
  5. Das Ganze ist größer als sein Teil.

Postulate (κοιναι εννοιαι, αξιωματα)

  1. Es soll gefordert werden, dass sich von jedem Punkte nach jedem Punkte eine gerade Linie ziehen lasse.
  2. Ferner, dass sich eine begrenzte Gerade stetig in gerader Linie verlängern lasse.
  3. Ferner, dass sich mit jedem Mittelpunkt und Halbmesser ein Kreis beschreiben lasse.
  4. Ferner, dass alle rechten Winkel einander gleich seien.
  5. Endlich, wenn eine Gerade zwei Geraden trifft und mit ihnen auf derselben Seite innere Winkel bildet, die zusammen kleiner sind als zwei Rechte, so sollen die beiden Geraden, ins Unendliche verlängert, schließlich auf der Seite zusammentreffen, auf der die Winkel liegen, die zusammen kleiner sind als zwei Rechte.

Interessant wären auch die Postulate des Archimedes

  1. Von allen Linienstücken, die gleiche Endpunkte haben, ist die gerade Linie die kürzeste.
  2. Die übrigen Linien aber, die in derselben Ebene liegen und dieselben Endpunkte haben, sind einander ungleich, wenn sie nach der gleichen Seite konkav sind und die eine ganz von der anderen und der geraden Linie der Endpunkte umfasst wird oder teilweise umfasst wird, teilweise mit einer der beiden Linien identisch ist. Und zwar ist die, welche umfasst wird, die kleinere.
  3. In ähnlicher Weise ist auch unter den Flächenstücken, die die gleiche ebene Kurve als Grenzlinie haben, das ebene Flächenstück das kleinere.
  4. Die übrigen Flächen aber, die dieselbe ebene Grenzkurve haben, sind ungleich, wenn sie nach derselben Seite konkav sind und die eine Fläche von der anderen und der Ebene, in der die Grenzkurve liegt, ganz eingeschlossen wird oder teilweise eingeschlossen wird und teilweise mit einer dieser Flächen identisch ist. Und zwar ist die eingeschlossene Fläche die kleinere.
  5. Der Inhalt des größeren von zwei verschieden großen Linien., Flächen- oder Raumstücken erweist sich als kleiner als die Größe, die man erhält, wenn man den Inhalt des kleineren hinreichend oft vervielfacht.
    (Archimedisches Axiom, es gibt keine unendlich kleinen Größen)

Beweisverfahren

  • der direkte Beweis, der aus bereits Bewiesenem das zu Beweisende durch logische Schlüsse ableitet
  • der indirekte oder apagogische Beweis (απαγωγή) wird von den griechischen Mathematikern sehr häufig verwendet, er strahlt meist eine mitreißende Eleganz aus.
  • Der Beweis durch vollständige Induktion wird immer dann angewendet, wenn Aussagen für natürliche Zahlen gemacht werden.

    Ist A(n) eine Aussage über natürliche Zahlen

    • Induktionsverankerung/Induktionsanfang: A(0) sei wahr

    • Induktionsschritt: Man nimmt an A(n) ist wahr und zeigt, dass A(n+1), dann auch wahr ist.

    • daraus folgt dann, dass A(n) für alle n gilt.

Unter den modernen Axiomensystemen ist das von David Hilbert am bekanntesten geworden, es besteht aus fünf Gruppen:

  • Axiome der Verknüpfung (Indizenz)
  • Axiome der Anordnung
  • Axiome der Deckungsgleichheit (Kongruenz)
  • Axiom der Parallelen (Parallelenaxiom)
  • Axiome der Stetigkeit (Archimedisches Axiom)

Vielleicht sollte noch der Unvollständigkeitssatz von Gödel erwähnt werden:
Jedes hinreichend mächtige formale System ist entweder widersprüchlich oder unvollständig.

Von Hilbert ist auch der vielleicht etwas schräge Satz überliefert:

  • „Wir denken drei verschiedene Systeme von Dingen; die Dinge des ersten nennen wir Punkte...; die Dinge des zweiten nennen wir Geraden...; die Dinge des dritten nennen wir Ebenen... .
  • Wir denken die Punkte, Geraden und Ebenen in gewissen gegenseitigen Beziehungen und bezeichnen diese Beziehungen durch Worte wie „liegen“, „zwischen“, „parallel“, „kongruent“, „stetig“: die genaue und vollständige Beschreibung dieser Beziehungen erfolgt durch die Axiome der Geometrie.“
  • „Man muss jederzeit anstelle von Punkten, Geraden und Ebenen Tische, Stühle und Bierseidel sagen können“

Das Erlanger Programm.
Die Kleinsche Geometrie wurde zuerst von Felix Klein, einem Kollegen von David Hilbert, beschrieben und im sog. Erlanger Programm formuliert. Unter dem Erlanger Programm versteht man folgenden Arbeitsauftrag:
Es ist eine Mannigfaltigkeit und in derselben eine Transformationsgruppe gegeben; man soll die der Mannigfaltigkeit angehörigen Gebilde hinsichtlich solcher Eigenschaften untersuchen, die durch die Transformationen der Gruppe nicht geändert werden.

Welche Geometrie tatsächlich in der Realität herrscht, wäre natürlich interessant, kann aber nicht schlüssig beantwortet werden, da alle drei Geometrien lokal euklidisch sind. Sollte im Großen aber tatsächlich eine andere Geometrie herrschen, würde dies alle derzeitigen Paradigmen zertrümmern.

In diesem Zusammenhang ist vielleicht ein Interview des Astrophysikers Jean-Marc Bonnet-Bidaud in Le Monde Interessant, in dem er sechs gravierende Bedenken gegen das herrschende Paradigma das "Big Bang" formuliert, eines davon betrifft die zugrunde gelegte Geometrie bzw. Metrik: "... Il y a tout d'abord la géométrie du cosmos et l'outil que l'on utilise pour y mesurer les distances. Un changement même mineur de cette mesure change totalement l’évolution de l’Univers..."

Felix Klein hat folgendes bemerkt:

  • Wenn "unsere" Geometrie euklidisch wäre, könnten wir dies nie beweisen, da innerhalb jeder Fehlerschranke beide nichteuklidischen Geometrien möglich wären.
  • Wäre sie nichteuklidisch, könnten wir das zumindest prinzipiell feststellen, hinreichend genaue Messgeräte vorausgesetzt.
  • Eine hyperbolische Welt wäre möglich, sie müsste nur hinreichend groß sein (mindestens 4 Mill. Erdbahnradien)
  • Eine elliptische Welt wäre in sich geschlossen und endlich, allerdings müsste sie auch hinreichend groß sein (mindestens 100 Mill. Erdbahnradien)

Und schließlich eine Bemerkung: Die Vermessung der Welt
In den Sommern der Jahre 1821 bis 1823 vermaß Gauß das Königreich Hannover in Süd-Nord-Richtung, von Göttingen nach Hamburg. Eines der von Gauß im Verborgenen verfolgten Ziele der Landvermessung war es, das 5. Euklidische Axiom experimentell zu überprüfen. Das Parallelenaxiom in seiner ursprünglichen Formulierung ist jedoch einer experimentellen Untersuchung nicht zugänglich. Es ist aber relativ einfach zu zeigen, dass die Aussage ”Die Winkelsumme eines Dreiecks beträgt“ im Wesentlichen äquivalent zum Parallelenaxiom ist. Der Satz über die Winkelsumme lässt sich aber im Prinzip experimentell überprüfen! Das Schwierige dabei ist jedoch, dass die Abweichung der Winkelsumme vom Sollwert für ”kleine“ Dreiecke zu gering ist, um signifikante Abweichungen vom Sollwert zu erhalten. In der hyperbolischen Geometrie ist dies eine Folgerung aus dem Satz von Gauß–Bonnet. Um das Parallelenaxiom zu falsifizieren, hat Gauß daher das zur damaligen Zeit bis dato größte Dreieck vermessen: vom Hohen Hagen, zum Brocken und zum thüringischen Inselberg. Die Genauigkeit der damaligen Messverfahren ließ jedoch weder eine Bestätigung noch eine Widerlegung des Parallelenpostulats zu.

Das Parallelen-Postulat unterscheidet sich durch seine Länge und Kompliziertheit von den anderen deutlich. Es wurde schon im Altertum als Makel in der Theorie des Euklid empfunden. Immer wieder gab es Versuche, es aus den anderen herzuleiten und damit zu zeigen, dass es für die Definition der euklidischen Geometrie entbehrlich ist. Historisch ist diese Aufgabe als das Parallelenproblem bekannt. Sie blieb über 2000 Jahre lang ungelöst.
Carl Friedrich Gauß erkannte als erster, dass das Parallelenproblem grundsätzlich unlösbar ist; er veröffentlichte seine Erkenntnisse aber nicht. Er korrespondierte aber mit verschiedenen Mathematikern, die ähnliche Ideen verfolgten.

Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski (Николай Иванович Лобачевский) stellte als erster 1826 eine neuartige Geometrie vor, in der alle übrigen Axiome der euklidischen Geometrie gelten, das Parallelenaxiom jedoch nicht. Sie wird als Lobatschewski- oder hyperbolische Geometrie bezeichnet. János Bolyai gelangte unabhängig davon fast gleichzeitig zu ähnlichen Resultaten. In allen diesen Jahren wurde anscheinend nicht erkannt, dass bereits die Geometrie auf der Kugel ein Modell für eine nichteuklidische Geometrie darstellt.

Das Parallelen-Postulat

Endlich, wenn eine Gerade zwei Geraden trifft und mit ihnen auf derselben Seite innere Winkel bildet, die zusammen kleiner sind als zwei Rechte, so sollen die beiden Geraden, ins Unendliche verlängert, schließlich auf der Seite zusammentreffen, auf der die Winkel liegen, die zusammen kleiner sind als zwei Rechte.

Sätze die zum Parallelenaxiom äquivalent sind

  • Es gibt ein Rechteck (ein Viereck mit vier rechten Winkeln)
  • Die Winkelsumme in jedem Dreieck ist gleich zwei Rechten.
  • Es gibt ähnliche Dreiecke, d.h. Dreiecke bei denen entsprechende Winkel übereinstimmen, aber nicht entsprechende Seiten.
  • Es existiert ein spitzer Winkel derart, dass die in jedem Punkt eines seiner Schenkel errichtete Senkrechte den anderen Schenkel trifft.
  • Abstandslinien zu einer Geraden sind wieder Geraden
  • Es gilt der Stufenwinkelsatz bzw. der Wechselwinkelsatz

Sätze die sowohl in der euklidischen als auch in der hyperbolischen Geometrie gelten.

  • Eindeutigkeit des kürzesten Abstandes Punkt-Gerade

  • Jede Bewegung ist Komposition höchstens einer Translation, höchstens einer Drehung und höchstens einer Spiegelung, sie ist ist Komposition von höchstens 3 Spiegelungen

  • Kongruenzsatz SWS

  • Kongruenzsatz WSW

  • Kongruenzsatz SSS

  • Schwerlinie im gleichschenkeligen Dreieck ist auch Winkelsymmetrale

  • Zwei Innenwinkel im Dreieck zusammen kleiner als zwei Rechte.

  • Kongruenzsatz SSW

  • Gleiche Stufenwinkel bei drei schneidenden Geraden: zwei sind parallel

  • Haben die Symmetralen zweier Seiten eines Dreiecks einen Schnittpunkt, so geht auch die Symmetrale der dritten Seite durch diesen Punkt.

  • In einem Dreieck kann höchstens ein Innenwinkel nichtspitz sein.

  • In einem spitzwinkligen Dreieck liegt jede Höhe innerhalb des Dreiecks; in einem nichtspitzwinkligen Dreieck die von der Ecke mit dem größten Innenwinkel ausgehende

  • Haben zwei Höhen eines Dreiecks einen Schnittpunkt, so geht auch die dritte Höhe durch diesen Punkt

  • Die drei Innenwinkelhalbierenden schneiden einander im Dreiecksinnern.

  • In einem Dreieck liegt der größere Winkel der größeren Seite gegenüber; und umgekehrt.

  • Es gilt die Die Dreiecksungleichung.

  • Schwacher Außenwinkelsatz: jeder Außenwinkel größer als jeder nicht anliegende Innenwinkel

Sätze die in der euklidischen, aber nicht in der hyperbolischen Geometrie gelten

  • Satz von Thales

  • Peripheriewinkelsatz

  • zwei Gerade, die normal stehen zu einer dritten, sind untereinander parallel

  • das Verhältnis von Umfand zu Radius eines Kreises ist π (in der elliptischen Geometrie ist es kleiner, in der hyperbolischen größer)

  • parallele Gerade haben überall denselben Abstand

  • Existenz von Rechtecken
    Der Jesuit Girolamo Saccheri (1677 - 1733) untersuchte er ein Viereck ABCD, das bei A und B rechte Winkel hat und bei dem die Seiten AD und BC gleich lang sind. In der euklidischen Geometrie ist das ein Rechteck und die Winkel bei C und D sind erstens gleich und zweitens recht.
    Ohne das fünfte Postulat kann man nur zeigen, dass die Winkel bei C und D gleich groß sind. Sie könnten aber beide spitz (Spitzeck statt Rechteck) oder beide stumpf (Stumpfeck statt Rechteck) sein.

  • Die Hypothese vom stumpfen Winkel im Saccherischen Viereck kann auf der Grundlage der Axiome und Sätze der absoluten Geometrie widerlegt werden.

  • Die Hypothese vom rechten Winkel gilt genau dann, wenn das Parallelenaxiom gilt.

  • Man kann zeigen, daß die Existenz eines einzigen Saccherischen Vierecks, auf das die Hypothese vom rechten Winkel zutrifft, für den Nachweis des Parallelenaxioms genügt. Daraus folgt sofort, daß diese Hypothese in jedem Saccherischen Viereck gilt, falls ihre Gültigkeit in einem einzigen gegeben ist.

  • Um das Parallelenaxiom zu beweisen, würde es also genügen, die Hypothese vom spitzen Winkel zu widerlegen, genauer: ein einziges Saccherisches Viereck zu konstruieren, auf das die Hypothese vom rechten Winkel zutrifft. Dies ist jedoch ohne die Verwendung einer zum Parallelenaxiom äquivalenten Aussage nicht möglich. Jedoch gelingt dieser Nachweis, wenn vorausgesetzt wird, daß Abstandslinien (also Mengen von Punkten, die von einer Geraden denselben Abstand haben) Geraden sind. Auch diese Aussage ist zum Parallelenaxiom äquivalent.

Alternative 1: Die Hyperbolische Geometrie

(auch Lobatschewski-Geometrie oder Geometrie des spitzen Winkels).
Das Euklidische Parallelenpostulat wird ersetzt durch das Lobatschewskisches Parallelenaxiom V':
Es existiert eine Gerade g und ein nicht auf g liegender Punkt P, durch den mindestens zwei Geraden verlaufen, die g nicht schneiden.

Daraus ergeben sich folgende Sätze:

  • Falls die Axiome der absoluten Geometrie und V' gelten, so existieren zu jeder Geraden g und zu jedem nicht auf g liegenden Punkt P mindestens zwei Geraden, die durch P verlaufen und g nicht schneiden.
  • Das Saccheri-Viereck hat zwei rechte und zwei spitze Winkel.
  • Die Winkelsumme im Dreieck ist kleiner als 180°, die Differenz ist der Flächeninhalt des Dreieckes (Satz von Gauß-Bonnet)
  • Zu jeder Geraden g und zu jedem nicht auf g liegenden Punkt P existieren unendlich viele Geraden, die durch P verlaufen und g nicht schneiden.
  • Kongruenzsatz "www": Stimmen zwei Dreiecke in allen drei Winkelmaßen überein, so sind sie kongruent.
  • Innenwinkelsatz der Lobatschewski-Geometrie: Die Innenwinkelsumme eines jeden Dreiecks ist kleiner als zwei Rechte.
  • Außenwinkelsatz der Lobatschewski-Geometrie: Jeder Außenwinkel eines beliebigen Dreiecks ist größer als die Summe der beiden nicht anliegenden Innenwinkel
  • "Hyperbolischer Pythagoras": cosh a · cosh b = cosh c
    Hyperbolischer Sinussatz: sinh a : sin α = sinh b : sin β = sinh c : sin γ
    Kreisumfang: U = 2π·sinh r > 2π·r, daher
  • Das Kreisparadoxon: Es sei U der gemessene Umfang eines Kreises. Dann ist r U/2π sondern r = ArSinHyp(U/2π) < U/2π

Alternative 2: Die Elliptische Geometrie

(auch Riemann-Geometrie oder Geometrie des stumpfen Winkels).
Das Euklidische Parallelenpostulat wird ersetzt durch:
Es existiert eine Gerade g und ein nicht auf g liegender Punkt P, durch den keine Gerade verläuft, die g nicht schneidet.

Daraus ergeben sich folgende Sätze:

  • Das Saccheri-Viereck hat zwei rechte und zwei stumpfe Winkel.
  • Die Winkelsumme im Dreieck ist größer als 180°
  • "Sphärischer Pythagoras": cos a · cos b = cos c
  • Sinussatz: sin a : sin α = sin b : sin β = sin c : sin γ
  • Kreisumfang: u = 2π·sin r < 2π·r, daher
  • Das Kreisparadoxon: misst man den Umfang eines Kreises zu U, dann ist der Radius r U/2π sondern r = ArcSin(U/2π) > U/2π
  • Die sechs Seitensymmetralen schneiden einander zu je dreien in vier Punkten, den Umkreismittelpunkten
  • Die sechs Winkelsymmetralen schneiden einander zu je dreien in vier Punkten, den Inkreismittelpunkten
  • Je zwei Gerade besitzen eine gemeinsame Normale
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